Cho $x,y$ là các số thực dương thỏa mãn điều kiện $5^{x+4y}+\frac{3^{-x-4y}}{3}+xy+x+1=\frac{5^{xy}}{5}+3^{-xy}+3-x-4y+y(x-4)$. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức $P=x+y$.

Phương trình biến đổi tương đương về hàm đặc trưng:
Đặt $u=x+4y$ và $v=xy-1$.
Ta thu được hệ thức liên hệ $xy-x-4y=1⟺(x-4)(y-1)=5$.
Vì $x,y>0$ nên $x>4,y>1$. Khi đó $y=1+\frac{5}{x-4}$.
Biểu thức $P=x+y=x+1+\frac{5}{x-4}=(x-4)+\frac{5}{x-4}+5$.
Áp dụng bất đẳng thức AM-GM cho hai số dương $x-4$ và $\frac{5}{x-4}$:
$P\ge 2\sqrt{(x-4)\cdot \frac{5}{x-4}}+5=2\sqrt{5}+5=5+2\sqrt{5}$.
Dấu '=' xảy ra khi $x-4=\sqrt{5}⟺x=4+\sqrt{5}>0$ và $y=1+\sqrt{5}>0$.
Vậy giá trị nhỏ nhất của $P$ là $5+2\sqrt{5}$. Chọn B.