Cho $x,y$ là các số thực thỏa mãn $x^2-xy+y^2=1$. Gọi $M,m$ lần lượt là giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của $P=\frac{x^4+y^4+1}{x^2+y^2+1}$. Giá trị của $A=M+15m$ là

Ta có $x^2-xy+y^2=1\iff (x+y{)}^2=3xy+1\ge 0\Rightarrow xy\ge -\frac{1}{3}$.
Mặt khác $(x-y{)}^2=1-xy\ge 0\Rightarrow xy\le 1$.
Đặt $t=xy$ với $-\frac{1}{3}\le t\le 1$.

Khi đó $x^2+y^2=1+t$ và:
$x^4+y^4=(x^2+y^2{)}^2-2x^2{y}^2=(t+1{)}^2-2t^2=-t^2+2t+1.$
Biểu thức $P$ trở thành:
$P=\frac{-t^2+2t+2}{t+2}=-(t+2)+4-\frac{2}{t+2}+2=-t+\frac{2}{t+2}.$
Khảo sát hàm số $f(t)=\frac{-t^2+2t+2}{t+2}$ trên $\left[-\frac{1}{3};1\right]$:
$f^{\prime }(t)=\frac{(-2t+2)(t+2)-(-t^2+2t+2)}{(t+2{)}^2}=\frac{-t^2-4t+2}{(t+2{)}^2}.$
$f^{\prime }(t)=0\iff t=-2+\sqrt{6}\in \left[-\frac{1}{3};1\right]$.

Tính các giá trị:
- $f(-2+\sqrt{6})=6-2\sqrt{6}$
- $f\left(-\frac{1}{3}\right)=\frac{11}{15}$
- $f(1)=1$

Suy ra $M=1$, $m=6-2\sqrt{6}\dots$ hoặc ngược lại:
Tính giá trị biểu thức $A=M+15m=17-2\sqrt{6}$.