Chọn ngẫu nhiên 3 số $a,b,c$ trong tập hợp $S=\{1;2;...;28\}$. Biết xác suất để 3 số chọn ra thỏa mãn $a^2+b^2+c^2$ chia hết cho 3 bằng $\frac{m}{n}$ với $m,n\in N^{\ast }$ và $\frac{m}{n}$ là phân số tối giản. Tính giá trị biểu thức $T=m+n$.

(AI giải đề cho tôi)
Trong S={1,...,28}: số lượng phần tử theo dư modulo 3: dư 0 có 9 số (3,6,...,27), dư 1 có 10 số (1,4,...,28), dư 2 có 9 số (2,5,...,26). Vì x² ≡ 0 (mod 3) khi x ≡ 0 và x² ≡ 1 (mod 3) khi x ≡ 1,2, nên a²+b²+c² ≡ 0 (mod 3) khi và chỉ khi cả ba số đều dư 0, hoặc cả ba số đều khác dư 0 (tức thuộc hai lớp dư 1, 2 với tổng 19 số). Số cách chọn thỏa mãn: C(9,3)+C(19,3)=84+969=1053. Tổng số cách: C(28,3)=3276. Xác suất = 1053/3276 = 9/28 (rút gọn: chia 3 hai lần được 117/364, rồi chia 13 được 9/28). Vậy m=9, n=28, T=m+n=37.