Có bao nhiêu cặp số nguyên $(x;y)$ thỏa mãn $0\le x\le 2020$ và $2^x+{\log }_2\frac{x}{2-y}=2^{2-y}$?

Chọn B.
(Theo bảng đáp án chính thức của trường THPT Yên Phong số 2 - Bắc Ninh, Mã đề 101, Trang 7-8)

Phương trình biến đổi tương đương:
$$2^x+{\log }_{2}x-{\log }_2(2-y)=2^{2-y}⟺2^x+{\log }_{2}x=2^{2-y}+{\log }_2(2-y).$$
Xét hàm số đặc trưng $f(t)=2^t+{\log }_{2}t$ trên $(0;+\infty )$ có $f^{\prime }(t)=2^t\ln 2+\frac{1}{t\ln 2}>0,\forall t>0$, hàm số luôn đồng biến trên $(0;+\infty )$.
Do đó phương trình tương đương:
$$x=2-y⟺x+y=2⟺y=2-x.$$
Vì $0\le x\le 2020$, điều kiện $x>0$ và $2-y>0⟺x\in \{1;2;\dots ;2020\}$.
Với mỗi giá trị nguyên của $x\in \{1;2;\dots ;2020\}$, ta xác định được duy nhất một giá trị nguyên của $y=2-x$.
Vậy có tất cả 2020 cặp số nguyên $(x;y)$ thỏa mãn.