Có bao nhiêu cặp số nguyên $(x;y)$ thỏa mãn $0<y\le 2020$ và ${\log }_3\left(\frac{2^x-1}{y}\right)=y+1-2^x$?

Lời giải

2x

1
y

y 1 2x ?

D. 2021 .

Chọn B

x, y

x, y

2x 1
0
Điều kiện:
y
0 y 2020
Ta có: log3

2x

0
2

1

y 1 2x

2x

y

y
1

y

log3 2x

1

1

log3 y

2x 1

y (vì f (t )

log3 t

Mà 0

y
x

1 2
0 x

2020

x

t là hàm đồng biến trên khoảng (0; +$\infty$) ).

x

2020 0 2 1 2020
2021
log 2 2021 10,98

So điều kiện suy ra x

1; 2;3;...;10

Vậy có 10 cặp số nguyên x, y thỏa mãn yêu cầu bài toán.