Có bao nhiêu cặp số nguyên $(x;y)$ thoả mãn $0<y<2023$ và $3^x+3x-6=9y+{\log }_3{y}^3$?

Chia hai vế cho $3$ ta được $3^{x-1}+(x-1)=3y+{\log }_3(3y)$. Xét hàm đặc trưng $g(t)=3^t+t$ đồng biến trên $\mathbb{R}$, suy ra $x-1={\log }_3(3y)\iff y=3^{x-2}$. Do $y\in \mathbb{Z}$ và $0<y<2023$ nên $x-2\in \{0;1;2;3;4;5;6\}$ (vì $3^6=729<2023<3^7=2187$). Vậy có $7$ cặp số nguyên $(x;y)$. (Nguồn: đề trang 6, bảng đáp án Mã đề [101] trang 7).