Có bao nhiêu cặp số nguyên $(x;y)$ thỏa mãn ${\log }_3(x^2+y^2+y)+{\log }_6(x^2+y^2)\le {\log }_{3}y+{\log }_6(2x^2+2y^2+8y)$?

Điều kiện: $y>0$. Bất phương trình tương đương ${\log }_3\left(\frac{x^2+y^2}{y}+1\right)-{\log }_6\left(\frac{8y}{x^2+y^2}+2\right)\le 0$. Đặt $t=\frac{x^2+y^2}{y}>0$, xét hàm số $f(t)={\log }_3(t+1)-{\log }_6\left(\frac{8}{t}+2\right)$ đồng biến trên $(0;+\infty )$ và $f(4)=0$, suy ra $f(t)\le f(4)\iff t\le 4\iff x^2+(y-2{)}^2\le 4$. Vì $y\in {\mathbb{Z}}^{+}$ nên $y\in \{1;2;3;4\}$ (có $4$ giá trị nguyên của $y$; nếu tính $x\in {\mathbb{Z}}^{+}$ có $4$ cặp $(x;y)$, còn với $x\in \mathbb{Z}$ có $12$ cặp; bảng đáp án chính thức trang 14 và lời giải trang 30 chọn A). Chọn A.