Có bao nhiêu giá trị nguyên của $m$ để phương trình: $9^x-m{3}^x-x(x+m)=0$ có nghiệm $x\in [0;1]$?

Phương trình viết lại:
$9^x-x^2-m(3^x+x)=0\iff (3^x-x)(3^x+x)-m(3^x+x)=0$.
Vì với mọi $x\in [0;1]$ ta có $3^x+x\ge 3^0+0=1>0$ nên chia hai vế cho $3^x+x$ ta được:
$3^x-x-m=0\iff m=3^x-x$.
Xét hàm số $g(x)=3^x-x$ trên đoạn $[0;1]$:
$g^{\prime }(x)=3^x\ln 3-1>0$ với mọi $x\in [0;1]$ (vì $3^x\ge 1$ và $\ln 3>1$).
Do đó $g(x)$ đồng biến trên $[0;1]$.
Ta có $g(0)=1$, $g(1)=3^1-1=2$.
Tập giá trị của $g(x)$ trên $[0;1]$ là $[1;2]$.
Để phương trình có nghiệm $x\in [0;1]$ thì $m\in [1;2]$.
Vì $m\in \mathbb{Z}$ nên $m\in \{1;2\}$. Có 2 giá trị nguyên của $m$.