Cho $A$ là tập hợp gồm các số tự nhiên có 9 chữ số đôi một khác nhau. Chọn ngẫu nhiên một số từ tập $A$. Tính xác suất để số được chọn có các chữ số 0, 1, 2, 3, 4 mà các chữ số 1, 2, 3, 4 sắp theo thứ tự tăng dần.

Số phần tử của tập hợp $A$:
Số có 9 chữ số đôi một khác nhau lấy từ $\{0,1,\dots ,9\}$ có $9\cdot A_9^8=9\cdot 9!$ số.
Chọn 4 chữ số còn lại từ $\{5,6,7,8,9\}$: có $C_5^4=5$ cách.
Nhóm chữ số đã chọn gồm $\{0,1,2,3,4\}$ và 4 chữ số khác.
Số cách sắp xếp 9 chữ số sao cho 1, 2, 3, 4 theo thứ tự tăng dần:
- Nếu chữ số 0 ở vị trí tùy ý: có $C_9^4$ cách xếp các vị trí cho 1, 2, 3, 4 (thứ tự cố định), còn lại 5 vị trí cho 5 chữ số có $5!$ cách $⟹C_9^4\cdot 5!=\frac{9!}{4!}$.
- Trừ trường hợp chữ số 0 đứng đầu: khi đó 1, 2, 3, 4 chiếm 4 trong 8 vị trí còn lại có $C_8^4$ cách, 4 vị trí còn lại cho 4 chữ số có $4!$ cách $⟹C_8^4\cdot 4!=\frac{8!}{4!}$.
Số cách sắp xếp hợp lệ là: $\frac{9!-8!}{4!}=\frac{8\cdot 8!}{24}=\frac{8!}{3}$.
Tổng số kết quả thuận lợi là: $5\cdot \frac{8!}{3}$.
Xác suất cần tính là:
$P=\frac{5\cdot \frac{8!}{3}}{9\cdot 9!}=\frac{5\cdot 8!}{27\cdot 9\cdot 8!}=\frac{5}{243}$.