Có bao nhiêu giá trị nguyên của $m$ thuộc $[-2020;2021]$ sao cho tồn tại $x$ thỏa mãn ${\ln }^3(x+m)+m^3+e^x\ln (x+m{)}^{3m}=e^{3x}$?

Phương trình tương đương với:
${\ln }^3(x+m)+m^3+3m{e}^x\ln (x+m)=e^{3x}$
$⟺{\ln }^3(x+m)+m^3+3m\ln (x+m)e^x-e^{3x}=0$.
Áp dụng hằng đẳng thức $a^3+b^3+c^3-3abc=(a+b+c)(a^2+b^2+c^2-ab-bc-ca)=0$ với $a=\ln (x+m),b=m,c=-e^x$:
Ta được $\ln (x+m)+m-e^x=0⟺\ln (x+m)+(x+m)=e^x+x$.
Xét hàm số đại diện $f(t)=t+e^t$, ta suy ra $\ln (x+m)=x⟺x+m=e^x⟺m=e^x-x$.
Xét hàm số $g(x)=e^x-x$ có $g^{\prime }(x)=e^x-1=0⟺x=0$.
Giá trị nhỏ nhất là $\min g(x)=g(0)=1$.
Để tồn tại $x$ thì $m\ge 1$.
Kết hợp với $m\in [-2020;2021]$ và $m\in \mathbb{Z}$:
$m\in \{1;2;\dots ;2021\}$.
Số giá trị nguyên của $m$ là $2021$.