Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số $m$ để ${\max }_{[1;3]}|x^3-3x^2+m|\le 4$?

Xét hàm số $g(x)=x^3-3x^2+m$ trên $[1;3]$:
- $g^{\prime }(x)=3x^2-6x=3x(x-2)=0⟺x=2\in [1;3]$ (loại $x=0$).
- $g(1)=m-2$.
- $g(2)=m-4$.
- $g(3)=m$.
Do đó trên $[1;3]$, ta có $m-4\le g(x)\le m$.
Để ${\max }_{[1;3]}|g(x)|\le 4$ thì $-4\le g(x)\le 4,\forall x\in [1;3]$:
$⟺\{\begin{array}{l}m-4\ge -4\\ m\le 4\end{array}⟺\{\begin{array}{l}m\ge 0\\ m\le 4\end{array}⟺0\le m\le 4$.
Vì $m\in \mathbb{Z}$ nên $m\in \{0,1,2,3,4\}$, có đúng 5 giá trị nguyên của $m$. Chọn A.