Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số $m$ thuộc đoạn $[-10;10]$ để hàm số $y=\frac{\cos x+m}{\cos x+2}$ đồng biến trên khoảng $\left(0;\frac{\pi }{2}\right)$?

Đặt $t=\cos x$. Khi $x\in \left(0;\frac{\pi }{2}\right)$, hàm số $t(x)=\cos x$ nghịch biến và nhận giá trị trong $(0;1)$. Hàm số $y(x)$ đồng biến trên $\left(0;\frac{\pi }{2}\right)$ khi và chỉ khi hàm số $g(t)=\frac{t+m}{t+2}$ nghịch biến trên $(0;1)\iff g^{\prime }(t)=\frac{2-m}{(t+2{)}^2}<0\iff 2-m<0\iff m>2$. Với $m\in [-10;10]$ và $m$ nguyên, ta có $m\in \{3,4,5,6,7,8,9,10\}$, tổng cộng có 8 giá trị nguyên. Theo đáp án chính thức (Mã đề 731, trang 13), chọn C.