Có bao nhiêu giá trị nguyên dương của tham số $m$ để tập nghiệm của bất phương trình $m\left(3^x-\sqrt[m]{729}\right)<mx-6$ có đúng một số nguyên dương?

Chọn A.
Do yêu cầu bài toán đếm số nghiệm nguyên dương, ta chỉ cần xét $x>0$ và $m\in {\mathbb{Z}}^{+}$.
Ta có $729=3^6$, nên $\sqrt[m]{729}=3^{\frac{6}{m}}$.
Bất phương trình đã cho tương đương với:
$m\left(3^x-3^{\frac{6}{m}}\right)<m\left(x-\frac{6}{m}\right)\iff 3^x-3^{\frac{6}{m}}<x-\frac{6}{m}\iff 3^x-x<3^{\frac{6}{m}}-\frac{6}{m}$.
Xét hàm số $f(t)=3^t-t$ trên $(0;+\infty )$.
Ta có $f^{\prime }(t)=3^t\ln 3-1$. Với $t>0$, $3^t>1\Rightarrow 3^t\ln 3>\ln 3\approx 1,0986>1$, suy ra $f^{\prime }(t)>0,\forall t>0$.
Do đó hàm số $f(t)$ đồng biến trên $(0;+\infty )$.
Vì vậy: $f(x)<f\left(\frac{6}{m}\right)\iff x<\frac{6}{m}$.
Tập nghiệm nguyên dương của bất phương trình có đúng một số nguyên dương (đó phải là $x=1$) khi và chỉ khi:
$1<\frac{6}{m}\le 2\iff \{\begin{array}{l}\frac{6}{m}>1\\ \frac{6}{m}\le 2\end{array}\iff \{\begin{array}{l}m<6\\ m\ge 3\end{array}\iff 3\le m<6$.
Vì $m$ nguyên dương nên $m\in \{3;4;5\}$.
Vậy có $3$ giá trị của tham số $m$ thỏa mãn yêu cầu bài toán.