Cho hàm số $y=f(x)$ có đồ thị như hình vẽ bên.
[IMAGE_1]

Tổng tất cả các giá trị của tham số $m$ để giá trị lớn nhất của hàm số $y=(f(x)+m+2{)}^2$ trên đoạn $[-2;1]$ bằng $36$ là

Chọn A.
Từ đồ thị hàm số $y=f(x)$ trên đoạn $[-2;1]$, ta có ${\min }_{[-2;1]}f(x)=0$ và ${\max }_{[-2;1]}f(x)=4$.
Xét hàm số $g(x)=f(x)+m+2$, trên $[-2;1]$ ta có:
${\min }_{[-2;1]}g(x)=m+2$ và ${\max }_{[-2;1]}g(x)=m+6$.
Khi đó giá trị lớn nhất của hàm số $y=g^2(x)$ là:
${\max }_{[-2;1]}y={\left({\max }_{[-2;1]}|g(x)|\right)}^2=36\iff {\max }_{[-2;1]}|g(x)|=6$.
Ta có $\max \{|m+2|,|m+6|\}=6\iff [\begin{array}{l}|m+2|=6\text{ vaˋ }|m+6|\le 6\\ |m+6|=6\text{ vaˋ }|m+2|\le 6\end{array}$
- Trường hợp 1: $|m+6|=6\iff m+6=6\Rightarrow m=0$ (thỏa mãn $|0+2|=2\le 6$) hoặc $m+6=-6\Rightarrow m=-12$ (loại vì $|-12+2|=10>6$).
- Trường hợp 2: $|m+2|=6\iff m+2=-6\Rightarrow m=-8$ (thỏa mãn $|-8+6|=2\le 6$) hoặc $m+2=6\Rightarrow m=4$ (loại vì $|4+6|=10>6$).
Vậy có 2 giá trị của $m$ thỏa mãn là $m=0$ và $m=-8$.
Tổng tất cả các giá trị của $m$ là: $0+(-8)=-8$.