Có bao nhiêu số nguyên dương của tham số $m$ để hàm số $y=\frac{\cos x+1}{10\cos x+m}$ đồng biến trên khoảng $\left(0;\frac{\pi }{2}\right)$?

Đặt $t=\cos x$. Với $x\in \left(0;\frac{\pi }{2}\right)$ thì $t\in (0;1)$ và hàm số $t=\cos x$ nghịch biến trên khoảng này. Do đó hàm số $y=\frac{t+1}{10t+m}$ phải nghịch biến trên $(0;1)$. Ta có $y^{\prime }=\frac{m-10}{(10t+m{)}^2}$. Để hàm số nghịch biến trên $(0;1)$ thì:
1) $m-10<0\iff m<10$.
2) Nghiệm của mẫu $t=-\frac{m}{10}\notin (0;1)\iff -\frac{m}{10}\le 0$ hoặc $-\frac{m}{10}\ge 1\iff m\ge 0$ hoặc $m\le -10$.
Vì $m$ là số nguyên dương nên $m\in \{1,2,3,4,5,6,7,8,9\}$. Có đúng 9 giá trị nguyên dương của $m$. Chọn A.