Có bao nhiêu số nguyên dương $x$ sao cho tồn tại số thực $y$ lớn hơn 1 thỏa mãn:
$(x{y}^2+x-2y-1)\log y=\log \frac{2y-x+3}{x}$?

Điều kiện: $\{\begin{array}{l}2y-x+3>0\\ y>1\\ x\ge 1\end{array}$.
$(x{y}^2+x-2y-1)\log y=\log \frac{2y-x+3}{x}$
$\iff (x{y}^2+x-2y-1)\log y-2\log y=\log \frac{2y-x+3}{x}-2\log y$
$\iff (x{y}^2-2y+x-3)\log y=\log \frac{2y-x+3}{x{y}^2}$
$\iff (a-b)\log y+\log \frac{a}{b}=0$, với $\{\begin{array}{l}a=x{y}^2\\ b=2y-x+3\end{array}$.
Nếu $a>b$ thì $(a-b)\log y+\log \frac{a}{b}>0$; nếu $a<b$ thì $(a-b)\log y+\log \frac{a}{b}<0$.
Do đó phương trình $\iff a=b\iff x{y}^2=2y-x+3\iff x=\frac{2y+3}{y^2+1}$.
Xét hàm số $f(y)=\frac{2y+3}{y^2+1}$ với $y>1$. Ta có $f^{\prime }(y)=\frac{-2y^2-6y+2}{(y^2+1{)}^2}<0,\forall y>1$.
Nên $f(y)$ nghịch biến trên $(1;+\infty )$.
Bảng biến thiên:

Để tồn tại số thực $y$ lớn hơn 1 thì $0<x<\frac{5}{2}\Rightarrow x\in \{1;2\}$.
Vậy có 2 số nguyên dương $x$ thỏa mãn.