Có bao nhiêu số nguyên m $\in$ [ -2023; 2023] để đồ thị hàm số y = x3 + mx 2 - m ( 2m + 1) x + m 2 có
hai điểm cực trị nằm về hai phía của trục hoành?

Đồ thị hàm số đã có hai điểm cực trị nằm về hai phía của trục hoành khi và chỉ khi phương trình
y = 0 có ba nghiệm phân biệt.

x = m
Ta có y = 0 $\iff$ ( x - m ) ( x 2 + 2mx - m ) = 0 $\iff$
g ( x ) = x + 2mx - m = 0.
2

Yêu cầu bài toán tương đương g ( x ) = 0 có hai nghiệm phân biệt khác m

m > 0 m > 0

'
$\Delta$ g = m + m > 0 m < -1
2
m < -1
$\iff$ $\iff$
g ( m )
e 0 m
e 0; m
e 1 m
e 1.
3 3

Vì m nguyên và m $\in$ [ -2023; 2023] nên có 4045 giá trị