Có bao nhiêu số nguyên $m$ để hàm số $f(x)=3x+m\sqrt{x^2+1}$ đồng biến trên $\mathbb{R}$?

Hàm số đồng biến trên $\mathbb{R}$ khi và chỉ khi $f^{\prime }(x)=3+\frac{mx}{\sqrt{x^2+1}}\ge 0,\forall x\in \mathbb{R}$.

Vì $\frac{|x|}{\sqrt{x^2+1}}<1,\forall x\in \mathbb{R}$ và ${\lim }_{x\to \pm \infty }\frac{x}{\sqrt{x^2+1}}=\pm 1$, nên điều kiện tương đương $-3\le m\le 3$.

Do $m\in \mathbb{Z}$ nên $m\in \{-3;-2;-1;0;1;2;3\}$, có $7$ giá trị.