Có bao nhiêu số nguyên $m$ để phương trình: $2\sin x+(m-1)\cos x=-m$ có nghiệm $x\in \left[0;\frac{\pi }{2}\right]$.

Phương trình tương đương: $2\sin x-\cos x=-m(1+\cos x)$.
Với $x\in \left[0;\frac{\pi }{2}\right]$ thì $1+\cos x>0$, do đó: $m=\frac{\cos x-2\sin x}{1+\cos x}$.
Đặt $t=\tan \frac{x}{2}\in [0;1]$ khi $x\in \left[0;\frac{\pi }{2}\right]$:
Ta có $\cos x=\frac{1-t^2}{1+t^2},\sin x=\frac{2t}{1+t^2},1+\cos x=\frac{2}{1+t^2}$.
Biểu thức của $m$: $m=g(t)=\frac{\frac{1-t^2-4t}{1+t^2}}{\frac{2}{1+t^2}}=\frac{-t^2-4t+1}{2}$.
Đạo hàm: $g^{\prime }(t)=-t-2<0,\forall t\in [0;1]$.
Do đó hàm số nghịch biến trên $[0;1]$:
$g(0)=\frac{1}{2}$ và $g(1)=\frac{-1-4+1}{2}=-2$.
Phương trình có nghiệm $x\in \left[0;\frac{\pi }{2}\right]⟺m\in \left[-2;\frac{1}{2}\right]$.
Các giá trị nguyên của $m$ là $m\in \{-2,-1,0\}$, có 3 giá trị nguyên. Chọn A.