Có bao nhiêu số phức thỏa mãn $|z+2-i|=2\sqrt{2}$ và $(z-1{)}^2$ là số thuần ảo?

Chọn D.
Đặt $z=x+yi$ ($x,y\in \mathbb{R}$).
- Ta có $|z+2-i|=2\sqrt{2}\iff (x+2{)}^2+(y-1{)}^2=8$ (1).
- $(z-1{)}^2=[(x-1)+yi{]}^2=(x-1{)}^2-y^2+2(x-1)yi$.
Để $(z-1{)}^2$ là số thuần ảo thì phần thực bằng 0: $(x-1{)}^2-y^2=0\iff y=x-1$ hoặc $y=1-x$.
- TH1: $y=x-1$, thay vào (1):
$(x+2{)}^2+(x-2{)}^2=8\iff 2x^2+8=8\iff x=0\Rightarrow y=-1\Rightarrow z=-i$.
- TH2: $y=1-x$, thay vào (1):
$(x+2{)}^2+(-x{)}^2=8\iff 2x^2+4x-4=0\iff x^2+2x-2=0\iff x=-1\pm \sqrt{3}$.
Với $x=-1+\sqrt{3}\Rightarrow y=2-\sqrt{3}$.
Với $x=-1-\sqrt{3}\Rightarrow y=2+\sqrt{3}$.
Vậy có đúng 3 số phức thỏa mãn.