Có bao nhiêu số nguyên $a$ thuộc đoạn $[-20;20]$ sao cho hàm số $y=-2x+2+a\sqrt{x^2-4x+5}$ có cực đại?

Chọn D.
[IMAGE:fig_q42_sign]

Ta có $y^{\prime }=-2+\frac{a(x-2)}{\sqrt{x^2-4x+5}}$, $y^{\prime \prime }=\frac{a}{(x^2-4x+5{)}^{\frac{3}{2}}}$.
- Với $a=0$: $y=-2x+2$ không có cực trị.
- Với $a\ne 0$: hàm số có điểm cực đại khi và chỉ khi $y^{\prime }=0$ có nghiệm và $y^{\prime \prime }<0$ tại nghiệm đó.
Điều kiện $y^{\prime \prime }<0\iff a<0$.
Phương trình $y^{\prime }=0\iff f(x)=\frac{x-2}{\sqrt{x^2-4x+5}}=\frac{2}{a}$.
Khảo sát $f(x)$ trên $\mathbb{R}$: $f^{\prime }(x)=\frac{1}{(x^2-4x+5{)}^{\frac{3}{2}}}>0,\forall x$.
Lại có $\underset{x\to -\infty }{\lim }f(x)=-1$ và $\underset{x\to +\infty }{\lim }f(x)=1$.
Do đó phương trình $f(x)=\frac{2}{a}$ có nghiệm khi $-1<\frac{2}{a}<1$.
Vì $a<0$ nên $-1<\frac{2}{a}\iff \frac{2}{a}>-1\iff a<-2$.
Do $a\in \mathbb{Z}$ và $a\in [-20;20]$ nên $a\in \{-20;-19;\dots ;-3\}$.
Số giá trị nguyên thỏa mãn là $-3-(-20)+1=18$.