Cho hình chóp $S.ABCD$ có đáy $ABCD$ là hình vuông cạnh bằng $a$, mặt bên $SAB$ là tam giác đều, $SC=SD=a\sqrt{3}$. Thể tích khối chóp $S.ABCD$ bằng

Chọn B.
[IMAGE:fig_q43_geom]

Gọi $M,N$ lần lượt là trung điểm của $AB$ và $CD$.
Vì $△SAB$ đều cạnh $a$ nên $SM=\frac{a\sqrt{3}}{2}$.
Vì $△SCD$ cân tại $S$ với $SC=SD=a\sqrt{3}$, $CD=a$ nên $SN=\sqrt{S{C}^2-C{N}^2}=\sqrt{3a^2-\frac{a^2}{4}}=\frac{a\sqrt{11}}{2}$.
Trong tam giác $△SMN$ có $MN=a$, $SM=\frac{a\sqrt{3}}{2}$, $SN=\frac{a\sqrt{11}}{2}$.
Ta có $S{M}^2+M{N}^2=\frac{3a^2}{4}+a^2=\frac{7a^2}{4}\ne S{N}^2$.
Gọi $H$ là chân đường cao hạ từ $S$ xuống $MN$. Chiều cao $h=SH=\frac{a\sqrt{2}}{2}$.
Thể tích khối chóp là:
$V=\frac{1}{3}{S}_{ABCD}\cdot SH=\frac{1}{3}{a}^2\cdot \frac{a\sqrt{2}}{2}=\frac{a^3\sqrt{2}}{6}$.