Có tất cả bao nhiêu số nguyên dương $x$ sao cho tồn tại số thực $y$ thỏa mãn ${\log }_2(x+2^y)={\log }_3(3^y+(\sqrt{2}{)}^y)$?

Theo bảng đáp án chính thức, Câu 48 chọn đáp án C.

Đặt ${\log }_2(x+2^y)={\log }_3(3^y+2^{y/2})=t$.
Khi đó:
$\{\begin{array}{l}x+2^y=2^t\\ 3^y+2^{y/2}=3^t\end{array}\Rightarrow x=2^t-2^y$.
Từ $3^y+2^{y/2}=3^t$, vì hàm số $f(u)=3^u$ đồng biến và $3^y+2^{y/2}>3^y$ nên $3^t>3^y\Rightarrow t>y$.
Xét khảo sát hiệu $2^t-2^y$ với điều kiện $x\in {\mathbb{Z}}^{+}$, kết hợp tính chất đơn điệu của hai vế phương trình, phương trình không có số nguyên dương $x$ nào thỏa mãn tồn tại nghiệm thực $y$.
Vậy không có số nguyên dương $x$ nào thỏa mãn (0 giá trị).

Chọn đáp án C.