Để tính khoảng cách giữa hai đỉnh núi $P$ và $Q$, người ta xác định hai vị trí $A$ và $B$ trên mặt đất cách nhau một khoảng $AB=1km$. Từ vị trí điểm $A$ đo được góc ngắm tới hai đỉnh núi $P$ và $Q$ so với phương nằm ngang lần lượt là $60^0$ và $35^0$. Từ vị trí điểm $B$ đo được góc ngắm tới hai đỉnh núi $P$ và $Q$ so với phương nằm ngang lần lượt là $40^0$ và $25^0$.

a) Tính góc $BAP$, từ đó tính khoảng cách $BP$.

b) Khoảng cách giữa hai đỉnh núi $P$ và $Q$ là bao nhiêu kilomet? (Kết quả làm tròn đến hàng phần trăm)

(AI giải đề cho tôi)
Giả thiết hình học: $P,Q$ nằm cùng phía so với đoạn $AB$, cùng phương ngắm, nên góc ở $A$ giữa tia $AB$ và tia ngắm bằng góc nâng, góc ở $B$ giữa tia $BA$ và tia ngắm bằng góc nâng từ $B$.

a) Vì tia ngắm từ $A$ tới $P$ tạo với phương nằm ngang góc $60^{\circ }$ nên $\widehat{BAP}=60^{\circ }$. Trong tam giác $ABP$: $\widehat{ABP}=40^{\circ }$ (tia $BP$ nghiêng lên $40^{\circ }$ so với mặt đất về phía $A$), suy ra $\widehat{APB}=180^{\circ }-60^{\circ }-40^{\circ }=80^{\circ }$. Theo định lý sin:
$$BP=\frac{AB\cdot \sin 60^{\circ }}{\sin 80^{\circ }}=\frac{\sin 60^{\circ }}{\sin 80^{\circ }}\approx \frac{0,8660}{0,9848}\approx 0,8794\text{km}.$$

b) Tương tự với $Q$: $\widehat{BAQ}=35^{\circ }$, $\widehat{ABQ}=25^{\circ }$ nên $\widehat{AQB}=120^{\circ }$ và
$$BQ=\frac{AB\cdot \sin 35^{\circ }}{\sin 120^{\circ }}=\frac{0,5736}{0,8660}\approx 0,6623\text{km}.$$

Vì $P,Q$ cùng phía và được ngắm từ $B$ với các góc nâng $40^{\circ }$ và $25^{\circ }$ theo cùng phương nên $\widehat{PBQ}=40^{\circ }-25^{\circ }=15^{\circ }$. Áp dụng định lý cosin trong tam giác $PBQ$:
$$P{Q}^2=B{P}^2+B{Q}^2-2\cdot BP\cdot BQ\cdot \cos 15^{\circ }$$
$$\approx 0,7733+0,4386-2(0,8794)(0,6623)(0,9659)\approx 1,2119-1,1253=0,0866.$$
Vậy $PQ\approx \sqrt{0,0866}\approx 0,2943\approx 0,29\text{km}$.

Kiểm tra độ cao: từ $A$, chiều cao $P$ là $AP\sin 60^{\circ }$ với $AP=\frac{\sin 40^{\circ }}{\sin 80^{\circ }}\approx 0,6527$, cho $h_P\approx 0,5653$; từ $B$: $0,8794\sin 40^{\circ }\approx 0,5653$ — khớp. Tương tự $Q$: $h_Q\approx 0,2799$ từ cả hai vị trí — khớp, dữ kiện nhất quán.

Đáp số: a) $\widehat{BAP}=60^{\circ }$, $BP\approx 0,88\text{km}$; b) $PQ\approx 0,29\text{km}$.