Giả sử $A,B$ là hai điểm phân biệt trên đồ thị của hàm số $y={\log }_2(2x-5)$ sao cho $A$ là trung điểm của đoạn $OB$.

(AI giải đề cho tôi)
a) Sai: Điều kiện xác định là $2x-5>0\iff x>\frac{5}{2}$, nên $D=\left(\frac{5}{2};+\infty \right)$ (khoảng mở, không phải nửa khoảng đóng).
b) Đúng: Hàm số $y={\log }_2(2x-5)$ xác định và đồng biến trên $\left(\frac{5}{2};+\infty \right)$ vì $y^{\prime }=\frac{2}{(2x-5)\ln 2}>0$; do đó đồng biến trên khoảng con $(5;+\infty )$.
c) Đúng: $A$ là trung điểm của $OB$ với $O(0;0)$, $x_A=a$ nên $x_B=2a$; vì $A$ thuộc đồ thị nên $y_A={\log }_2(2a-5)$, suy ra $y_B=2y_A=2{\log }_2(2a-5)$. Vậy $B\left(2a;2{\log }_2(2a-5)\right)$.
d) Đúng: $B$ thuộc đồ thị nên $2{\log }_2(2a-5)={\log }_2(4a-5)\iff (2a-5{)}^2=4a-5\iff 2a^2-12a+15=0\iff a=3\pm \frac{\sqrt{6}}{2}$. Vì $a>\frac{5}{2}$ nên $a=3+\frac{\sqrt{6}}{2}$, khi đó $x_B=2a=6+\sqrt{6}\approx 8,45$ không nguyên. Kết quả khớp với đáp án nguồn (1a S, 1b D, 1c D, 1d D).
a) (AI giải đề cho tôi)
Tập xác định là $D=\left(\frac{5}{2};+\infty \right)$, không phải $\left[\frac{5}{2};+\infty \right)$.
b) (AI giải đề cho tôi)
$y^{\prime }=\frac{2}{(2x-5)\ln 2}>0$ trên $\left(\frac{5}{2};+\infty \right)$ nên hàm số đồng biến trên $(5;+\infty )$.
c) (AI giải đề cho tôi)
$A$ trung điểm $OB$, $x_A=a$ nên $x_B=2a$; $y_A={\log }_2(2a-5)$ nên $y_B=2{\log }_2(2a-5)$.
d) (AI giải đề cho tôi)
Từ $(2a-5{)}^2=4a-5$ được $a=3+\frac{\sqrt{6}}{2}$ (vì $a>\frac{5}{2}$), nên $x_B=6+\sqrt{6}\approx 8,45$ không nguyên.