Giải phương trình $2{\cos }^{2}x-1=\cos (\pi -3x)$?

(AI giải đề cho tôi)
Ta có $2{\cos }^{2}x-1=\cos 2x$ và $\cos (\pi -3x)=-\cos 3x$. Phương trình trở thành $\cos 2x=-\cos 3x$, tức $\cos 2x+\cos 3x=0$. Dùng công thức tổng hai cosin: $2\cos \frac{5x}{2}\cos \frac{x}{2}=0$.

Trường hợp 1: $\cos \frac{5x}{2}=0\Rightarrow \frac{5x}{2}=\frac{\pi }{2}+k\pi \Rightarrow x=\frac{\pi }{5}+\frac{2k\pi }{5}$, $k\in \mathbb{Z}$.

Trường hợp 2: $\cos \frac{x}{2}=0\Rightarrow \frac{x}{2}=\frac{\pi }{2}+k\pi \Rightarrow x=\pi +2k\pi$, $k\in \mathbb{Z}$.

Kiểm tra: với $x=\pi +2k\pi$ thì $\frac{5x}{2}=\frac{5\pi }{2}+5k\pi$ nên $\cos \frac{5x}{2}=0$, tức nghiệm này đã được chứa trong họ $x=\frac{\pi }{5}+\frac{2k\pi }{5}$ (với $k=2+5m$: $x=\frac{\pi }{5}+\frac{2(2+5m)\pi }{5}=\pi +2m\pi$).

Vậy tập nghiệm của phương trình là $x=\frac{\pi }{5}+\frac{2k\pi }{5}$, $k\in \mathbb{Z}$.