Giải phương trình: $\sin \left(2x+\frac{\pi }{3}\right)=\sin 3x$.

(AI giải đề cho tôi)
Giải phương trình $\sin \left(2x+\frac{\pi }{3}\right)=\sin 3x$.

Điều kiện: $x\in \mathbb{R}$.

Dùng công thức: $\sin A=\sin B\iff A=B+2k\pi$ hoặc $A=\pi -B+2k\pi$, với $k\in \mathbb{Z}$.

Trường hợp 1: $2x+\frac{\pi }{3}=3x+2k\pi \iff x=\frac{\pi }{3}-2k\pi =\frac{\pi }{3}+2k^{\prime }\pi$ (với $k^{\prime }\in \mathbb{Z}$).

Trường hợp 2: $2x+\frac{\pi }{3}=\pi -3x+2k\pi \iff 5x=\frac{2\pi }{3}+2k\pi \iff x=\frac{2\pi }{15}+\frac{2k\pi }{5}$, với $k\in \mathbb{Z}$.

Kiểm tra: với $x=\frac{\pi }{3}$: $\sin \left(\frac{2\pi }{3}+\frac{\pi }{3}\right)=\sin \pi =0=\sin \pi$ ✓. Với $x=\frac{2\pi }{15}$: $2x+\frac{\pi }{3}=\frac{4\pi }{15}+\frac{5\pi }{15}=\frac{3\pi }{5}$, còn $3x=\frac{2\pi }{5}$, và $\sin \frac{3\pi }{5}=\sin \left(\pi -\frac{3\pi }{5}\right)=\sin \frac{2\pi }{5}$ ✓.

Vậy tập nghiệm: $S=\left\{\frac{\pi }{3}+2k\pi ;\frac{2\pi }{15}+\frac{2k\pi }{5}|k\in \mathbb{Z}\right\}$.