Gọi $F(x)$ là một nguyên hàm của hàm $f(x)=2^x-4x$ trên $\mathbb{R}$ thoả mãn $F(0)=\frac{1}{\ln 2}$.

(AI giải đề cho tôi)
Ta có $\int 2^{x}dx=\frac{2^x}{\ln 2}+C$ và $\int -4xdx=-2x^2+C$. a) $\int f(x)dx=\frac{2^x}{\ln 2}-2x^2+C$ — Đúng. b) Từ $F(0)=\frac{1}{\ln 2}$ suy ra $\frac{1}{\ln 2}+C=\frac{1}{\ln 2}\Rightarrow C=0$, vậy $F(x)=\frac{2^x}{\ln 2}-2x^2$ (không có $+1$) — Sai. c) $F(1)=\frac{2}{\ln 2}-2\ne \frac{2}{\ln 2}-1$ — Sai. d) $\frac{f(x)}{x\cdot 2^x}=\frac{2^x-4x}{x\cdot 2^x}=\frac{1}{x}-\frac{4}{2^x}=\frac{1}{x}-4\cdot 2^{-x}$, nên $\int \frac{f(x)}{x\cdot 2^x}dx=\ln |x|+\frac{4}{\ln 2}\cdot 2^{-x}+C$ — Đúng. Kết quả khớp bảng đáp án mã đề 1001 câu 13: Đ, S, S, Đ.
a) (AI giải đề cho tôi)
$\int (2^x-4x)dx=\frac{2^x}{\ln 2}-2x^2+C$.
b) (AI giải đề cho tôi)
Điều kiện $F(0)=\frac{1}{\ln 2}$ cho $C=0$, nên $F(x)=\frac{2^x}{\ln 2}-2x^2$, không có hằng số $+1$.
c) (AI giải đề cho tôi)
$F(1)=\frac{2}{\ln 2}-2$, khác $\frac{2}{\ln 2}-1$.
d) (AI giải đề cho tôi)
$\frac{f(x)}{x\cdot 2^x}=\frac{1}{x}-4\cdot 2^{-x}$, nguyên hàm là $\ln |x|+\frac{4}{\ln 2}\cdot 2^{-x}+C$.