Trong không gian $Oxyz$, cho ba điểm $A(2;-1;3)$, $B(4;0;1)$ và $C(-10;5;3)$. Vectơ nào dưới đây là vecto pháp tuyến của mặt phẳng $(ABC)$?

Họ tất cả các nguyên hàm của hàm số $f(x)=2x+4$ là

Trong không gian với hệ tọa độ $Oxyz$, cho mặt phẳng $(P):2x-3z-5=0$. Véc tơ nào sau đây là một véc tơ pháp tuyến của mặt phẳng $(P)$?

Cho $f(x)$ và $g(x)$ là hai hàm số liên tục trên $K$. Khẳng định nào dưới đây đúng?

Gọi $H$ là hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số $y=\sqrt{x}$, trục hoành và hai đường thẳng $x=1$, $x=2$. Thể tích $V$ của khối tròn xoay tạo thành khi cho hình phẳng $H$ quay xung quanh trục $Ox$ là

Trong không gian $Oxyz$, vecto nào dưới đây là một vecto pháp tuyến của mặt phẳng $(Oxy)$?

Nếu $\underset{0}{\overset{1}{\int }}f(x)\mathrm{d}x=3$ và $\underset{0}{\overset{1}{\int }}g(x)\mathrm{d}x=7$ thì $\underset{0}{\overset{1}{\int }}\left[f(x)+g(x)\right]\mathrm{d}x$ bằng

Gọi $F(x)$ là một nguyên hàm của hàm $f(x)=2^x-4x$ trên $\mathbb{R}$ thoả mãn $F(0)=\frac{1}{\ln 2}$.

Cho hàm số $y=f(x)$ liên tục trên đoạn $[a;b]$. Gọi $F(x)$ là một nguyên hàm của hàm số $y=f(x)$ trên đoạn $[a;b]$.

Trong không gian $Oxyz$, cho $A(0;0;1)$, $B(2;0;1)$ và hai mặt phẳng $(P):x-2y+2z-5=0$, và $(Q):2x-4y+4z+10=0$.

Cho hàm số $f(x)=x^3+2x$ và hàm số $g(x)=x^2+x$.

Một chi tiết máy hình đĩa tròn có dạng như hình vẽ bên nhận $AB,CD$ làm các trục đối xứng. Người ta cần phủ sơn cả hai mặt của chi tiết. Biết rằng đường tròn lớn có bán kính $5dm$, các đường tròn nhỏ đều có bán kính bằng $2dm$, $AB=CD=4dm$ và chi phí sơn là $100000$ đồng/$m^2$. Tính chi phí $x$ (nghìn đồng) để sơn hoàn thiện chi tiết máy (làm tròn kết quả đến hàng đơn vị).

Trong tiết thể dục học về kĩ thuật chuyền bóng hoi, Nam và An đang tập chuyền bóng cho nhau, Nam ném bóng cho An đỡ, quả bóng bay lên cao nhưng lại lệch sang phải của Nam và rơi xuống vị trí cách An $0,5\mathrm{m}$ và cách Nam $4,5\mathrm{m}$ (mô tả bởi hình vẽ sau). Biết rằng quỹ đạo của quả bóng nằm trong mặt phẳng $(\alpha ):ax+\frac{1}{2}y+cx+d=0$ và vuông góc với mặt đất. Khi đó giá trị của $a+c+d$ bằng? (kết quả làm tròn đến hàng phần chục).

Cho tích phân $\underset{1}{\overset{2}{\int }}\left(\frac{x^2+1}{x}\right)\mathrm{d}x=\ln a+\frac{b}{c}$, biết $a,b,c$ là số nguyên, $b,c$ nguyên tố cùng nhau. Tính tổng $a+b+c$.

Một sân vận động được xây dựng theo mô hình là hình chóp cụt $OAGD.BCFE$ có hai đáy song song với nhau. Mặt sân $OAGD$ là hình chữ nhật và được gắn hệ trục $Oxyz$ như hình vẽ (đơn vị trên mỗi trục tọa độ là mét). Mặt sân $OAGD$ có chiều dài $OA=100\mathrm{m}$, chiều rộng $OD=60\mathrm{m}$ và tọa độ điểm $B(10;10;8)$. Giả sử phương trình tổng quát của mặt phẳng $(OACB)$ có dạng $ax+4y+cz+d=0$. Tính giá trị biểu thức $a+c+d$.

Một khối cầu có bán kính là $5(\mathrm{dm})$, người ta cắt bỏ hai phần của khối cầu bằng hai mặt phẳng song song cùng vuông góc đường kính và cách tâm một khoảng $3(\mathrm{dm})$ để làm một chiếc lu đựng nước. Tính thể tích nước mà chiếc lu chứa được (làm tròn kết quả đến hàng đơn vị của decimét khối).

Một bác thợ xây bơm nước vào bể chứa nước. Gọi $h(t)$ là thể tích nước bơm được sau $t$ giây. Cho $h^{\prime }(t)=3a{t}^2+bt\left(m^3/s\right)$ và ban đầu bể không có nước. Sau 5 giây thì thể tích nước trong bể là $150m^3$. Sau 10 giây thì thể tích nước trong bể là $1100m^3$. Hỏi thể tích nước trong bể sau khi bơm được 20 giây là bao nhiêu $m^3$.