Gọi $S$ là tập hợp tất cả các số thực $m$ sao cho bất phương trình $m^2\cdot e^{4x}+m\cdot e^{2x}+1<(m^2+m)e^{3x}+\frac{x+1}{e^x}$ vô nghiệm. Số phần tử của tập $S$ là

Chọn C.
Bất phương trình đã cho vô nghiệm khi và chỉ khi:
$m^2\cdot e^{4x}+m\cdot e^{2x}+1\ge (m^2+m)e^{3x}+\frac{x+1}{e^x},\forall x\in \mathbb{R}$
$\iff m^2\cdot e^{5x}+m\cdot e^{3x}+e^x\ge (m^2+m)e^{4x}+x+1,\forall x\in \mathbb{R}$
$\iff m^2\cdot e^{5x}-(m^2+m)e^{4x}+m\cdot e^{3x}+e^x-x-1\ge 0,\forall x\in \mathbb{R}$.
Đặt $t=e^x$ ($t>0$), bất phương trình trở thành:
$f(t)=m^2{t}^5-(m^2+m)t^4+m{t}^3+t-\ln t-1\ge 0,\forall t>0$.
Nhận xét: $f(1)=0$. Vì hàm số $f(t)$ liên tục và có đạo hàm trên $(0;+\infty )$, nên điều kiện cần để $f(t)\ge 0,\forall t>0$ là $t=1$ phải là điểm cực tiểu của $f(t)$, tức là $f^{\prime }(1)=0$.
Ta có $f^{\prime }(t)=5m^2{t}^4-4(m^2+m)t^3+3m{t}^2+1-\frac{1}{t}$.
$f^{\prime }(1)=5m^2-4(m^2+m)+3m+1-1=m^2-m=0\iff [\begin{array}{l}m=0\\ m=1\end{array}$
Điều kiện đủ:
- Với $m=0$: $f(t)=t-\ln t-1$. Ta có $f^{\prime }(t)=1-\frac{1}{t}=\frac{t-1}{t}$.
$f^{\prime }(t)=0\iff t=1$, qua $t=1$ đạo hàm đổi dấu từ âm sang dương nên ${\min }_{(0;+\infty )}f(t)=f(1)=0$, suy ra $f(t)\ge 0,\forall t>0$ (thỏa mãn).
- Với $m=1$: $f(t)=t^5-2t^4+t^3+t-\ln t-1=t^3(t-1{)}^2+(t-\ln t-1)$.
Với mọi $t>0$, ta có $t^3(t-1{)}^2\ge 0$ và $t-\ln t-1\ge 0$, do đó $f(t)\ge 0,\forall t>0$ (thỏa mãn).
Vậy có đúng $2$ giá trị của tham số $m$ thỏa mãn là $m=0$ và $m=1$.
Số phần tử của tập $S$ là $2$.