Cho hàm số đa thức bậc bốn $y=f(x)$ với đồ thị như hình vẽ bên.
[IMAGE_1]

Hàm số $g(x)=|x\cdot f^2(x)+m|$ có nhiều nhất bao nhiêu điểm cực trị?

Chọn A.
Xét hàm số $u(x)=x\cdot f^2(x)+m$.
Ta có $u^{\prime }(x)=f^2(x)+2xf(x)f^{\prime }(x)=f(x)[f(x)+2x{f}^{\prime }(x)]$.
Cho $u^{\prime }(x)=0\iff [\begin{array}{l}f(x)=0\\ f(x)+2x{f}^{\prime }(x)=0\end{array}$
Từ đồ thị, $f(x)=0$ có $3$ nghiệm đơn phân biệt $x_1=0,x_2=2,x_3\in (3;4)$.
Xét hàm số $h(x)=f(x)+2x{f}^{\prime }(x)$, ta khảo sát thấy $h(x)=0$ có các nghiệm phân biệt khác nghiệm của $f(x)$, tổng số điểm cực trị của $u(x)$ tối đa là $4$.
Số điểm cực trị của hàm số $g(x)=|u(x)|$ bằng số điểm cực trị của $u(x)$ cộng với số nghiệm đơn của phương trình $u(x)=0\iff x\cdot f^2(x)=-m$.
Phương trình $x\cdot f^2(x)=-m$ có tối đa $5$ nghiệm phân biệt.
Vậy hàm số $g(x)$ có nhiều nhất là $4+5=9$ điểm cực trị.