Trong không gian $Oxyz$, cho điểm $A(3;12;24)$, $B(19;40;8)$. Viết phương trình đường thẳng $d$ đi qua tâm đường tròn nội tiếp $I$ của tam giác $OAB$ và cắt đường thẳng $AB$ tại điểm $M$ có tọa độ nguyên sao cho $IM=9$.

Chọn A.
Ta có $OA=\sqrt{3^2+12^2+24^2}=27$, $OB=\sqrt{19^2+40^2+8^2}=45$, $AB=\sqrt{(19-3{)}^2+(40-12{)}^2+(8-24{)}^2}=36$.
Tâm $I$ của đường tròn nội tiếp tam giác $OAB$ thỏa mãn:
$AB\cdot \overrightarrow{IO}+OB\cdot \overrightarrow{IA}+OA\cdot \overrightarrow{IB}=\vec{0}\iff 36\overrightarrow{IO}+45\overrightarrow{IA}+27\overrightarrow{IB}=\vec{0}\iff 4\overrightarrow{IO}+5\overrightarrow{IA}+3\overrightarrow{IB}=\vec{0}$.
Suy ra tọa độ điểm $I$:
$x_I=\frac{4(0)+5(3)+3(19)}{4+5+3}=\frac{72}{12}=6$.
$y_I=\frac{4(0)+5(12)+3(40)}{12}=\frac{180}{12}=15$.
$z_I=\frac{4(0)+5(24)+3(8)}{12}=\frac{144}{12}=12$.
Do đó $I(6;15;12)$.
Ta có $\overrightarrow{AB}=(16;28;-16)=4(4;7;-4)$.
Đường thẳng $AB$ có phương trình tham số: $\{\begin{array}{l}x=3+4u\\ y=12+7u\\ z=24-4u\end{array}$.
Điểm $M\in AB\Rightarrow M(3+4u;12+7u;24-4u)$.
Ta có $\overrightarrow{IM}=(4u-3;7u-3;12-4u)$.
$I{M}^2=(4u-3{)}^2+(7u-3{)}^2+(12-4u{)}^2=81u^2-162u+162=81$.
$\iff 81u^2-162u+81=0\iff 81(u-1{)}^2=0\iff u=1$.
Với $u=1$, ta có điểm $M(7;19;20)$ (tọa độ nguyên) và $\overrightarrow{IM}=(1;4;8)$.
Đường thẳng $d$ đi qua $I(6;15;12)$ và $M(7;19;20)$ có vectơ chỉ phương ${\vec{u}}_d=(1;4;8)$.
Phương trình tham số của $d$ với điểm đi qua $M_0(4;7;-4)$ (ứng với $t=-2$): $\{\begin{array}{l}x=4+t\\ y=7+4t\\ z=-4+8t\end{array}$.