Người thợ cuộn một tấm kim loại hình chữ nhật chiều dài $1,8\text{ m}$, chiều rộng $50\text{ cm}$ thành một chiếc rương để đựng đồ. Biết rằng mặt đáy và các mặt xung quanh của rương là các mặt của hình hộp chữ nhật và nắp rương là một phần của mặt xung quanh hình trụ (tham khảo hình vẽ).
[IMAGE_1]

Sau khi ghép hai mặt còn lại để hoàn thành chiếc rương thì thể tích của chiếc rương đó gần với giá trị nào sau đây?

Chọn C.
Thể tích của rương được tính theo công thức $V=GH\cdot S_{AFHJ}$, với $GH=50\text{ cm}$.
Trong đó $S_{AFHJ}$ là diện tích hình thang cong giới hạn bởi các đoạn thẳng $AF,FH,HJ$ và cung tròn $JA$.
Ta có độ dài chiều dài tấm kim loại là $1,8\text{ m}=180\text{ cm}$, được chia thành các phần:
$AF=40\text{ cm},FH=40\text{ cm},HJ=40\text{ cm}$ và độ dài cung tròn $\widehat{JA}=180-(40+40+40)=60\text{ cm}$.
Gọi $(O,R)$ là đường tròn chứa cung $AJ$, góc ở tâm $\widehat{AOJ}=x$ (rad), $x>0$.
Theo định lí cosin trong tam giác $OAJ$ có đáy $AJ=FH=40\text{ cm}$:
$40^2=R^2+R^2-2R^2\cos x=2R^2(1-\cos x)=4R^2{\sin }^2\frac{x}{2}\Rightarrow R\sin \frac{x}{2}=20$.
Độ dài cung tròn $Rx=60\Rightarrow R=\frac{60}{x}$.
Suy ra $\frac{60}{x}\sin \frac{x}{2}=20\iff 3\sin \frac{x}{2}=x\iff x\approx 2,991563$.
Diện tích quạt tròn $S_{quat}=\frac{1}{2}{R}^{2}x=\frac{1}{2}\cdot \frac{3600}{x}=\frac{1800}{x}$.
Diện tích tam giác $OAJ$ là $S_{\Delta OAJ}=\frac{1}{2}{R}^2\sin x=\frac{1800\sin x}{x^2}$.
Diện tích hình viên phân tạo bởi cung $AJ$ và dây cung $AJ$ là:
$S_{vp}=\frac{1800}{x}-\frac{1800\sin x}{x^2}$.
Diện tích đáy hình chữ nhật là $S_{AFHJ\text{ (phaˆˋn chữ nhật)}}=40\times 40=1600{\text{ cm}}^2$.
Suy ra $S_{AFHJ}=1600+\frac{1800}{x}-\frac{1800\sin x}{x^2}\approx 2171,62{\text{ cm}}^2$.
Thể tích chiếc rương là $V=50\times S_{AFHJ}\approx 108581{\text{ cm}}^3$.