Cho khối chóp $S.ABCD$ có mặt bên $(SBC)$ vuông góc với mặt phẳng đáy. Biết tam giác $SBC$ là tam giác đều có cạnh bằng $2a$, đáy $ABCD$ là hình thang vuông tại $A$ và $D$ có $AB+DC=AD$. Gọi $DN$ là trung tuyến của tam giác $BCD$. Giả sử khoảng cách giữa hai đường thẳng $DN$ và $AS$ bằng $a\sqrt{2}$. Thể tích khối chóp $S.ABCD$ bằng

Chọn D.
[IMAGE_1]

Gọi $M$ là trung điểm của $AD$, vì $N$ là trung điểm của $BC$ nên $MN$ là đường trung bình của hình thang vuông $ABCD$.
Do đó $MN=\frac{AB+CD}{2}=\frac{AD}{2}=MA=MD$.
Suy ra tam giác $ADN$ vuông tại $N$, tức $DN\perp AN$.
Vì tam giác $SBC$ đều cạnh $2a$ và $(SBC)\perp (ABCD)$, với $N$ là trung điểm $BC$ ta có $SN\perp BC\Rightarrow SN\perp (ABCD)$ và $SN=2a\cdot \frac{\sqrt{3}}{2}=a\sqrt{3}$.
Ta có $DN\perp AN$ và $DN\perp SN\Rightarrow DN\perp (SAN)$.
Do đó kẻ $NH\perp SA$ ($H\in SA$) thì $NH$ chính là đoạn vuông góc chung của $SA$ và $DN$, nên khoảng cách giữa $SA$ và $DN$ là $NH=a\sqrt{2}$.
Trong tam giác vuông $SAN$ tại $N$, có đường cao $NH$:
$\frac{1}{N{H}^2}=\frac{1}{A{N}^2}+\frac{1}{S{N}^2}\iff \frac{1}{2a^2}=\frac{1}{A{N}^2}+\frac{1}{3a^2}\iff \frac{1}{A{N}^2}=\frac{1}{6a^2}\iff AN=a\sqrt{6}$.
Gọi $P$ là giao điểm của $AN$ và $CD$. Khi đó tam giác $ADP$ vuông cân tại $D$ và có diện tích bằng diện tích hình thang $ABCD$, suy ra $S_{ABCD}=A{N}^2=6a^2$.
Thể tích khối chóp $S.ABCD$ là:
$V=\frac{1}{3}{S}_{ABCD}\cdot SN=\frac{1}{3}\cdot 6a^2\cdot a\sqrt{3}=2\sqrt{3}{a}^3$.