Gọi $S$ là tập hợp tất cả các số tự nhiên có 4 chữ số đôi một khác nhau và các chữ số thuộc tập $\{1,2,3,4,5,6,7,8\}$. Chọn ngẫu nhiên một số thuộc $S$, tính xác suất để số đó không có hai chữ số liên tiếp nào cùng chẵn.

(AI giải đề cho tôi)
Tổng số số thuộc $S$ là $A_8^4=8\cdot 7\cdot 6\cdot 5=1680$ (chọn và sắp thứ tự 4 chữ số đôi một khác nhau từ $\{1,\dots ,8\}$).

Gọi $A$ là biến cố 'số không có hai chữ số liên tiếp nào cùng chẵn'. Trong tập $\{1,\dots ,8\}$ có 4 chữ số chẵn $(2,4,6,8)$ và 4 chữ số lẻ $(1,3,5,7)$.

Xét số có đúng $k$ chữ số chẵn ($k=0,1,2,3,4$):
- Chọn $k$ chữ số chẵn: $C_4^k$ cách; chọn $4-k$ chữ số lẻ: $C_4^{4-k}=C_4^k$ cách.
- Sắp $4-k$ chữ số lẻ: $(4-k)!$ cách, tạo ra $5-k$... thực tế 4 chữ số lẻ tạo 5 khoảng trống (trước, sau, giữa các chữ số lẻ); chọn $k$ trong 5 khoảng để đặt chữ số chẵn sao cho không có hai chữ số chẵn kề nhau: $C_5^k$ cách.
- Sắp thứ tự $k$ chữ số chẵn: $k!$ cách.

Số phần tử thuận lợi:
$$N=\sum _{k=0}^4{C}_4^k{C}_5^{k}k!(4-k)!$$
- $k=0$: $1\cdot 1\cdot 1\cdot 24=24$
- $k=1$: $4\cdot 5\cdot 1\cdot 6=120$
- $k=2$: $6\cdot 10\cdot 2\cdot 2=240$
- $k=3$: $4\cdot 10\cdot 6\cdot 1=240$
- $k=4$: $1\cdot 5\cdot 24\cdot 1=120$

Tổng $N=24+120+240+240+120=744$.

Vậy xác suất cần tính là:
$$P(A)=\frac{744}{1680}=\frac{31}{70}\approx 0,4429.$$