Trong hệ trục tọa độ $Oxy$, cho đường tròn $(C)$ có tâm nằm trên đường thẳng $d:x-6y-10=0$ và tiếp xúc với hai đường thẳng có phương trình $d_1:3x+4y+5=0$ và $d_2:4x-3y-5=0$ (Biết tung độ của tâm là số không âm). Viết phương trình đường tròn $(C)$.

(AI giải đề cho tôi)
Gọi tâm $I(a,b)$. Vì $I\in d:x-6y-10=0$ nên $a=6b+10$. Đường tròn tiếp xúc với cả $d_1$ và $d_2$ nên khoảng cách từ $I$ đến hai đường thẳng bằng nhau: $$\frac{|3a+4b+5|}{5}=\frac{|4a-3b-5|}{5}.$$ Thay $a=6b+10$: $3a+4b+5=22b+35$ và $4a-3b-5=21b+35$. Do đó $|22b+35|=|21b+35|$, tức $22b+35=21b+35\Rightarrow b=0$, hoặc $22b+35=-(21b+35)\Rightarrow 43b=-70\Rightarrow b=-\frac{70}{43}<0$ (loại vì tung độ tâm không âm). Vậy $b=0$, $a=10$, tâm $I(10;0)$. Bán kính $R=\frac{|3\cdot 10+4\cdot 0+5|}{5}=\frac{35}{5}=7$. Phương trình đường tròn: $(x-10{)}^2+y^2=49$. Kiểm tra: khoảng cách từ $I(10;0)$ đến $d_2$ là $\frac{|40-0-5|}{5}=7$ — thỏa mãn.