Khi ho ép khí quản co lại, ảnh hưởng đến tốc độ không khí đi vào khí quản. Tốc độ của không khí đi vào khí quản khi ho đo được bởi công thức: $V=k(18-r)r^2$ với $0\le r<18$, trong đó $k\ne 0$ là hằng số, $r$ là bán kính khí quản khi ho. Hỏi bán kính khí quản khi ho bằng bao nhiêu thì tốc độ của không khí đi vào khí quản là lớn nhất?

(AI giải đề cho tôi)
Xét $V(r)=k(18-r)r^2=18k{r}^2-k{r}^3$ trên $[0;18)$. Với $k>0$: $V^{\prime }(r)=36kr-3k{r}^2=3kr(12-r)$. $V^{\prime }(r)>0$ khi $r<12$ và $V^{\prime }(r)<0$ khi $r>12$, nên hàm số đạt cực đại (và là giá trị lớn nhất) tại $r=12$. Với $k<0$ hàm số đạt giá trị lớn nhất tại $r=0$ (biên), nhưng trong ngữ cảnh bài toán ho (khí quản co lại, $r>0$) và theo đáp án nguồn, ta xét $k>0$. Vậy bán kính khí quản khi tốc độ không khí lớn nhất là $r=12$. Kết quả khớp với đáp án nguồn (12).