Khoảng $\left(-\frac{\pi }{2};\frac{\pi }{2}\right)$ là khoảng đồng biến của hàm số nào?

(AI giải đề cho tôi)
Xét từng hàm số trên khoảng $\left(-\frac{\pi }{2};\frac{\pi }{2}\right)$:
- $y=\tan x$: có tập xác định $\left(-\frac{\pi }{2}+k\pi ;\frac{\pi }{2}+k\pi \right)$, và $y^{\prime }=\frac{1}{{\cos }^{2}x}>0$ với mọi $x$ thuộc tập xác định. Do đó $y=\tan x$ đồng biến trên từng khoảng xác định, đặc biệt đồng biến trên $\left(-\frac{\pi }{2};\frac{\pi }{2}\right)$. Đáp án C.
- $y=\sin \left(x+\frac{\pi }{3}\right)$: đồng biến khi $\cos \left(x+\frac{\pi }{3}\right)\ge 0$, tức $x\in \left(-\frac{5\pi }{6}+2k\pi ;\frac{\pi }{6}+2k\pi \right)$, không đồng biến trên toàn khoảng $\left(-\frac{\pi }{2};\frac{\pi }{2}\right)$ (ví dụ tại $x=\frac{\pi }{3}$ hàm đang nghịch biến).
- $y=1+\cos x$: có $y^{\prime }=-\sin x$, đổi dấu trên $\left(-\frac{\pi }{2};\frac{\pi }{2}\right)$ (âm khi $x>0$, dương khi $x<0$), nên không đồng biến trên khoảng này.
- $y=\cot x$: có $y^{\prime }=-\frac{1}{{\sin }^{2}x}<0$, nghịch biến trên mọi khoảng xác định.
Vậy khoảng $\left(-\frac{\pi }{2};\frac{\pi }{2}\right)$ là khoảng đồng biến của hàm số $y=\tan x$.