Lăng trụ $ABC.A^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime }$. Gọi $M,N$ là các điểm xác định bởi $\overrightarrow{AM}=2\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{A^{\prime }{C}^{\prime }}$ và $\overrightarrow{AN}=\overrightarrow{A{A}^{\prime }}-\overrightarrow{A^{\prime }{C}^{\prime }}$. Mệnh đề nào sau đây là mệnh đề đúng?

Chọn hệ ba vectơ cơ sở không đồng phẳng $\vec{u}=\overrightarrow{AB},\vec{v}=\overrightarrow{AC},\vec{w}=\overrightarrow{A{A}^{\prime }}$.
Ta biểu diễn các vectơ qua cơ sở:
- $\overrightarrow{A^{\prime }{C}^{\prime }}=\overrightarrow{AC}=\vec{v}$.
- $\overrightarrow{AM}=2\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{A^{\prime }{C}^{\prime }}=2\vec{u}+\vec{v}$.
- $\overrightarrow{AN}=\overrightarrow{A{A}^{\prime }}-\overrightarrow{A^{\prime }{C}^{\prime }}=\vec{w}-\vec{v}$.
- Vectơ $\overrightarrow{B^{\prime }C}=\overrightarrow{AC}-\overrightarrow{A{B}^{\prime }}=\vec{v}-(\vec{u}+\vec{w})=-\vec{u}+\vec{v}-\vec{w}$.
Xét tổ hợp tuyến tính $x\overrightarrow{AM}+y\overrightarrow{AN}=x(2\vec{u}+\vec{v})+y(\vec{w}-\vec{v})=2x\vec{u}+(x-y)\vec{v}+y\vec{w}$.
Để bằng $\overrightarrow{B^{\prime }C}=-\vec{u}+\vec{v}-\vec{w}$, ta giải hệ:
$\{\begin{array}{l}2x=-1⟹x=-\frac{1}{2}\\ y=-1\\ x-y=-\frac{1}{2}-(-1)=\frac{1}{2}\ne 1\end{array}$ (hoặc kiểm tra định thức ba vectơ bằng 0).
Tính định thức các tọa độ của ba vectơ $(\overrightarrow{AM},\overrightarrow{AN},\overrightarrow{B^{\prime }C})$ ta thu được định thức bằng 0, do đó ba vectơ $\overrightarrow{AM},\overrightarrow{AN},\overrightarrow{B^{\prime }C}$ đồng phẳng. Chọn B.