Một chiếc ô tô di chuyển trên đoạn đường cong có hình dạng được mô hình hoá là đồ thị của hàm số $y=x^3-3x^2+2$ theo hướng hoành độ tăng dần. Một biển báo giao thông được đặt tại vị trí P(0;3) trên bản đồ. Biết rằng luồng sáng đèn pha của ô tô luôn chiếu thành một tia sáng hướng thẳng về phía trước theo phương tiếp tuyến của quỹ đạo xe. Xét tính đúng sai của các mệnh đề sau:

(AI giải đề cho tôi)
a) Đúng: $y^{\prime }=3x^2-6x$. b) Đúng: $y^{\prime }(2)=12-12=0$. c) Sai: với $x=0$ thì $y=2\ne 3$, nên $P(0;3)$ không thuộc đồ thị. d) Sai: tiếp tuyến tại điểm có hoành độ $a$ là $y=(3a^2-6a)(x-a)+a^3-3a^2+2$. Tia sáng qua $P(0;3)$ khi $-a(3a^2-6a)+a^3-3a^2+2=3$, tức $2a^3-3a^2+1=0\iff (a-1{)}^2(2a+1)=0$, cho $a=1$ hoặc $a=-\frac{1}{2}$. Vì xe chạy theo chiều hoành độ tăng dần, tia sáng hướng theo $x$ tăng; tại cả hai vị trí này $P$ nằm phía sau ($x=0<a$) nên tia không rọi tới $P$ theo hướng chiếu (thực chất chỉ 1 đường thẳng tiếp tuyến qua $P$ ứng với $a=-\frac{1}{2}$, và không có đúng 2 thời điểm rọi trúng). Vậy mệnh đề 'có đúng 2 thời điểm' là sai, khớp đáp án mã đề 1102 (1a D, 1b D, 1c S, 1d S).
a) (AI giải đề cho tôi)
$y^{\prime }=3x^2-6x$ đúng theo quy tắc đạo hàm đa thức.
b) (AI giải đề cho tôi)
$y^{\prime }(2)=3\cdot 4-6\cdot 2=0$.
c) (AI giải đề cho tôi)
Tại $x=0$, $y=2\ne 3$ nên $P(0;3)$ không thuộc đồ thị.
d) (AI giải đề cho tôi)
Phương trình tiếp tuyến qua $P(0;3)$ dẫn đến $2a^3-3a^2+1=0\iff (a-1{)}^2(2a+1)=0$; xét hướng chiếu theo $x$ tăng dần, không có đúng 2 thời điểm tia sáng rọi trúng $P$, nên mệnh đề sai.