Một chiếc thuyền ở vị trí A cách bờ biển một khoảng AB bằng 5km. Trên bờ biển có một cái kho ở vị trí C cách B một khoảng là 7km. Người lái thuyền dự định chèo thuyền từ A đến điểm M trên bờ biển với vận tốc 1,2 m/s rồi đi bộ đến C với vận tốc 1,8 m/s (xem hình vẽ dưới đây). Điểm M cách B bao nhiêu km để người đó đến kho nhanh nhất.

Đáp án: 4,47.

Đặt $BM=x$ (km, $0\le x\le 7$).

Ta có: $CM=7-x$ (km).

$AM=\sqrt{A{B}^2+B{M}^2}=\sqrt{5^2+x^2}=\sqrt{25+x^2}$ (km).

Đổi: 1,2 m/s = 4,32 km/h, 1,8 m/s = 6,48 km/h. (Nguồn in '4,32 km/s' — lỗi đánh máy của nguồn, phép tính dùng 4,32 và 6,48 nhất quán.)

Thời gian người đó đi từ A đến C là:
$$t=\frac{AM}{4,32}+\frac{MC}{6,48}=\frac{\sqrt{25+x^2}}{4,32}+\frac{7-x}{6,48}.$$

Đặt $f(x)=\frac{\sqrt{25+x^2}}{43,2}+\frac{7-x}{64,8}$ $(0\le x\le 7)$

Ta có $f^{\prime }(x)=\frac{x}{4,32.\sqrt{x^2+25}}-\frac{1}{6,48}$

$f^{\prime }(x)=0\iff \frac{x}{4,32.\sqrt{x^2+25}}=\frac{1}{6,48}$

$\iff 6,48x=4,32\sqrt{x^2+25}\iff \sqrt{x^2+25}=1,5x$

$\iff 2,25x^2=x^2+25\iff 1,25x^2=25$

$\iff x^2=20\iff x=2\sqrt{5}$

Ta có: $f\left(2\sqrt{5}\right)=\frac{125\sqrt{5}+350}{324}\approx 1,94$

$f(0)=\frac{725}{324}\approx 2,34$ (nguồn in ≈2,34; giá trị chính xác ≈2,24 — lỗi làm tròn của nguồn, không ảnh hưởng đáp án), $f(7)=\frac{25\sqrt{74}}{108}\approx 1,99$.

Vậy điểm M cách B một khoảng $2\sqrt{5}\approx 4,47$ km thì người đó đến kho nhanh nhất.