Một công ty sản xuất mỗi bồn chứa nước dạng khối trụ không nắp bằng nguyên liệu là một quả cầu nhựa đặc ruột bán kính 33cm. Để đảm bảo kỹ thuật và độ bền thì bồn nước có bề dày thành bồn và đáy là 4cm. Tính thể tích lớn nhất của bồn nước (phần chứa được nước) tính theo đơn vị mét khối, làm tròn đến hàng phần chục.

(AI giải đề cho tôi)
Thể tích nguyên liệu (quả cầu bán kính $R=33$ cm): $V_{nl}=\frac{4}{3}\pi R^3=\frac{4}{3}\pi \cdot 33^3=47916\pi$ cm${}^3$. Gọi $a$ (cm) là bán kính trong, $b$ (cm) là chiều cao phần chứa nước; thành và đáy dày 4 cm nên bán kính ngoài là $a+4$, chiều cao ngoài là $b+4$, với $a>0$, $b>0$. Thể tích nguyên liệu bằng thể tích khối trụ ngoài trừ khối trụ trong: $$\pi [(a+4{)}^2(b+4)-a^{2}b]=47916\pi .$$ Khai triển: $(a^2+8a+16)(b+4)-a^{2}b=8ab+16b+4a^2+32a+64=47916$, suy ra $$b=\frac{47916-4(a+4{)}^2}{8a+16}=\frac{11963-a^2-8a}{2a+4}.$$ Điều kiện $b>0\iff a^2+8a<11963\iff 0<a\approx 105,3$. Cần cực đại hóa $V=\pi a^{2}b=\pi f(a)$ với $f(a)=\frac{a^2(11963-a^2-8a)}{2a+4}$. Tính đạo hàm: $$f^{\prime }(a)=\frac{-2a(3a^3+24a^2-11915a-47852)}{(2a+4{)}^2}.$$ Nghiệm dương của $3a^3+24a^2-11915a-47852=0$ là $a\approx 61,17$ cm; $f^{\prime }(a)>0$ với $a<61,17$ và $f^{\prime }(a)<0$ với $a>61,17$ (trong miền xác định), nên $f$ đạt cực đại tại $a\approx 61,17$. Khi đó $b=\frac{11963-(61,17{)}^2-8\cdot 61,17}{2\cdot 61,17+4}\approx 61,2$ cm. Thể tích lớn nhất: $$V_{max}=\pi a^{2}b\approx \pi \cdot (61,17{)}^2\cdot 61,2\approx 719400{\text{cm}}^3\approx 0,72{\text{m}}^3.$$ Làm tròn đến hàng phần chục: $V_{max}\approx 0,7$ m${}^3$, khớp đáp án đề cho (mã đề 1252, Câu 6 phần III: 0,7).