Một đa giác đều 12 đỉnh nội tiếp trong một đường tròn tâm $O$. Gọi $X$ là tập hợp tất cả các tam giác có các đỉnh là các đỉnh của đa giác trên. Tính xác suất để chọn được một tam giác từ tập $X$ là tam giác cân nhưng không phải tam giác đều (kết quả làm tròn đến hàng phần trăm).

(AI giải đề cho tôi)
Tổng số tam giác từ 12 đỉnh của đa giác đều là $\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{12}{3}\right)=220$.

Đếm tam giác cân: với mỗi đỉnh được chọn làm đỉnh apex (12 cách), hai đỉnh còn lại phải đối xứng qua đường kính đi qua apex, tức cách apex cùng số bước $k$ với $k=1,2,3,4,5$ (5 cách). Vậy đếm được $12\times 5=60$ (theo apex, có trùng lặp).

Tam giác đều dạng $\{i,i+4,i+8\}$ có đúng 4 tam giác phân biệt, mỗi tam giác bị đếm 3 lần (mỗi đỉnh đều có thể làm apex), tức bị đếm thừa 2 lần mỗi tam giác. Số tam giác cân phân biệt $=60-2\times 4=52$; số tam giác cân nhưng không đều $=52-4=48$.

Xác suất $=\frac{48}{220}=\frac{12}{55}\approx 0,2182\approx 0,22$, khớp đáp án nguồn (mã đề 0119, Phần III, Câu 1: 0,22).