Cho hàm số $f(x)=x^3+3x^2-9x+2$ có đồ thị là $(C)$.

(AI giải đề cho tôi)
Ta có $f^{\prime }(x)=3x^2+6x-9=3(x+3)(x-1)$, nên $f$ đồng biến trên $(-\infty ;-3)$ và $(1;+\infty )$, nghịch biến trên $(-3;1)$. Các điểm cực trị: $A(-3;29)$ vì $f(-3)=-27+27+27+2=29$, và $B(1;-3)$ vì $f(1)=1+3-9+2=-3$.

a) Trên đoạn $[-3;5]$: $f(-3)=29$, $f(1)=-3$, $f(5)=125+75-45+2=157$. Vậy GTLN bằng $157$ → Đúng.

b) $AB=\sqrt{(1-(-3){)}^2+(-3-29{)}^2}=\sqrt{16+1024}=\sqrt{1040}=4\sqrt{65}\ne 2\sqrt{65}$ → Sai.

c) Theo dấu của $f^{\prime }(x)$, hàm số đồng biến trên $(-\infty ;-3)$ và $(1;+\infty )$ → Đúng.

d) $f(x)=0$ có 3 nghiệm phân biệt ($f(-5)=-3<0$, $f(-4)=22>0$ nên một nghiệm trong $(-5;-4)$; $f(0)=2>0$, $f(1)=-3<0$ nên một nghiệm trong $(0;1)$; $f(1)=-3<0$, $f(2)=4>0$ nên một nghiệm trong $(1;2)$), tất cả đều là nghiệm đơn. Do đó $g(x)=|f(x)|$ có các điểm cực trị tại $x=-3$, $x=1$ (cực trị của $f$) và tại 3 nghiệm đơn của $f$, tổng cộng 5 điểm cực trị → Đúng.

Kết quả: a) Đúng, b) Sai, c) Đúng, d) Đúng, khớp với bảng đáp án mã đề 0119 (DSDD).
a) (AI giải đề cho tôi)
Trên $[-3;5]$, so sánh $f(-3)=29$, $f(1)=-3$, $f(5)=157$, GTLN bằng $157$.
b) (AI giải đề cho tôi)
$A(-3;29)$, $B(1;-3)$ nên $AB=\sqrt{16+1024}=4\sqrt{65}$, không phải $2\sqrt{65}$.
c) (AI giải đề cho tôi)
$f^{\prime }(x)=3(x+3)(x-1)>0$ trên $(-\infty ;-3)$ và $(1;+\infty )$, nên $f$ đồng biến trên hai khoảng đó.
d) (AI giải đề cho tôi)
$f(x)=0$ có 3 nghiệm đơn (mỗi nghiệm thuộc một khoảng $(-5;-4)$, $(0;1)$, $(1;2)$); $g(x)=|f(x)|$ có cực trị tại $x=-3$, $x=1$ và tại 3 nghiệm đó, tổng 5 điểm cực trị.