Một hộp không nắp được làm từ một mảnh các tông theo hình vẽ. Hộp có đáy là một hình vuông cạnh $x$ (cm), chiều cao là $h$ (cm) và thể tích là $4000{\text{cm}}^3$. Tìm $x$ (cm) sao cho chiếc hộp làm ra tốn ít bìa các tông nhất.

Đáp án: 20. Điều kiện $x>0$. Ta có thể tích của chiếc hộp là $V=x^2.h$. Theo giả thiết thể tích chiếc hộp bằng $4000{\text{cm}}^3$ nên ta có $x^2.h=4000\iff h=\frac{4000}{x^2}$. Ta có diện tích xung quanh và đáy của chiếc hộp là $S=x^2+4xh=x^2+4x.\frac{4000}{x^2}=x^2+\frac{16000}{x}$. Ta khảo sát hàm số $f\left(x\right)=x^2+\frac{16000}{x}$. Ta có $f^{\prime }\left(x\right)=2x-\frac{16000}{x^2}$, $f^{\prime }\left(x\right)=0\iff x=20$. Bảng biến thiên: $f^{\prime }(x)$ âm trên $(0;20)$, dương trên $(20;+\infty )$; $f(x)$ giảm đến $1200$ rồi tăng. Ta có $x=20\left(\text{cm}\right)$ thì chiếc hộp làm ra tốn ít bìa nhất.