Một hộp sữa dạng hình hộp chữ nhật có nắp, chiều cao $h$ $(cm)$, tổng diện tích bề mặt của chiếc hộp bằng $54c{m}^2$, tìm $x$ để chiếc hộp có thể tích lớn nhất?

(AI giải đề cho tôi)
Hộp chữ nhật có nắp với đáy vuông cạnh $x$ và chiều cao $h$ (theo hình vẽ, hai kích thước đáy đều bằng $x$). Tổng diện tích bề mặt: $2x^2+4xh=54\Rightarrow h=\frac{54-2x^2}{4x}$ với $0<x<\sqrt{27}$.

Thể tích: $V=x^{2}h=\frac{x(54-2x^2)}{4}=\frac{54x-2x^3}{4}$.

$V^{\prime }(x)=\frac{54-6x^2}{4}=0\Rightarrow x^2=9\Rightarrow x=3$ (chọn $x>0$).

Vì $V^{\prime }(x)>0$ khi $x<3$ và $V^{\prime }(x)<0$ khi $x>3$, thể tích lớn nhất đạt tại $x=3$ (cm). Kết quả khớp với đáp án nguồn: 3.