Một trang sách có dạng hình chữ nhật với diện tích là 384 cm². Sau khi để lề trên và lề dưới đều là 3 cm, để lề trái và lề phải đều là 2 cm. Phần còn lại của trang sách được in chữ. Kích thước của trang sách là bao nhiêu để phần in chữ trên trang sách có diện tích lớn nhất?

Gọi $x$, $y$ (cm) lần lượt là các kích thước của trang sách $(x,y>0)$. Ta có: $xy=384\Rightarrow y=\frac{384}{x}$. Các kích thước của phần in chữ sau khi canh lề lần lượt là $x-6$, $y-4$ (cm). Diện tích phần in chữ: $S=(x-6)(y-4)=xy-6x-4y+24=384-6x-4\times \frac{384}{x}+24=408-\left(6x+\frac{1536}{x}\right)\left({\text{cm}}^2\right)$.

Áp dụng bất đẳng thức Cauchy:
$$S=408-\left(6x+\frac{1536}{x}\right)\le 408-2\sqrt{6x\times \frac{1536}{x}}=408-2\sqrt{6\times 1536}=216\left({\text{cm}}^2\right)$$
Dấu bằng xảy ra khi $6x=\frac{1536}{x}\iff x^2=256\Rightarrow x=16\Rightarrow y=\frac{384}{16}=24(\text{cm})$.
Vậy phần in chữ trên trang sách có diện tích lớn nhất là $216{\text{cm}}^2$ khi kích thước trang sách là $16\text{cm}\times 24\text{cm}$.