Một xưởng may cần sản xuất hai loại áo sơ mi. Để sản xuất 1 áo loại I cần 3 giờ cắt và 1 giờ may, thu lãi 50.000 đồng. Để sản xuất 1 áo loại II cần 1 giờ cắt và 2 giờ may, thu lãi 40.000 đồng. Biết rằng thời gian cắt tối đa là 60 giờ, thời gian may tối đa là 50 giờ. Hỏi xưởng cần sản xuất bao nhiêu áo mỗi loại để thu được lãi tối đa?

Đáp án:
Gọi $x$ là số áo loại I, $y$ là số áo loại II $(x,y\ge 0,x,y\in \mathbb{N})$.
- Ràng buộc thời gian cắt: $3x+1y\le 60$.
- Ràng buộc thời gian may: $1x+2y\le 50$.
- Hàm mục tiêu (Lãi $L$): $L(x,y)=50000x+40000y$ (Tối đa).

Ta cần tìm giá trị lớn nhất của $L$ trên miền nghiệm của hệ bất phương trình:
$$\{\begin{array}{l}3x+y\le 60\\ x+2y\le 50\\ x\ge 0,y\ge 0\end{array}$$
(0,25 điểm)

Xác định các đỉnh của miền nghiệm:
1. $O(0;0)$
2. Giao điểm của $3x+y=60$ với $Ox$ $(y=0)$: $3x=60\Rightarrow x=20$. $A(20;0)$
3. Giao điểm của $x+2y=50$ với $Oy$ $(x=0)$: $2y=50\Rightarrow y=25$. $B(0;25)$
4. Giao điểm của $3x+y=60$ và $x+2y=50$:
$$\{\begin{array}{l}y=60-3x\\ x+2(60-3x)=50\end{array}\Rightarrow x+120-6x=50\Rightarrow 5x=70\Rightarrow x=14.$$ $y=60-3(14)=60-42=18$. $C(14;18)$

Tính giá trị lãi $L$ tại các đỉnh:
- $L(0;0)=0$.
- $L(20;0)=50000(20)+40000(0)=\mathrm{1.000.000}$ đồng. (0,5 điểm)
- $L(0;25)=50000(0)+40000(25)=\mathrm{1.000.000}$ đồng.
- $L(14;18)=50000(14)+40000(18)=700.000+720.000=\mathrm{1.420.000}$ đồng.

Lãi tối đa là 1.420.000 đồng, đạt được khi sản xuất 14 áo loại I và 18 áo loại II. (0,25 điểm)