Người ta muốn làm một đường để tránh tảng đá lớn ở vị trí D. Trong quá trình khảo sát họ chọn hai vị trí M và N để làm con đường nhằm nối hai vị trí M và N đồng

Question

Người ta muốn làm một đường để tránh tảng đá lớn ở vị trí $D$ . Trong quá trình khảo sát họ chọn hai vị trí $M$ và $N$ để làm con đường nhằm nối hai vị trí $M$ và $N$ đồng thời con đường luôn đi qua vị trí $A$ cố định. Giả sử con đường nối hai vị trí $M$ và $N$ là một đường thẳng và ba vị trí $M$ , $A$ , $N$ theo thứ tự thẳng hàng. Biết đường thẳng $M D$ vuông góc với đường thẳng $N D$ (tham khảo hình minh họa bên dưới). Nếu khoảng cách từ $A$ đến đường thẳng $M D$ bằng $2 k m$ và khoảng cách từ $A$ đến đường thẳng $N D$ bằng $16 k m$ thì phải chọn vị trí $M$ và vị trí $N$ cách vị trí $D$ một khoảng bao nhiêu ki lô mét để con đường $M N$ ngắn nhất.

Đề Thi Chuẩn · Accepted Answer

Đáp án đúng: Tự luận. Lời giải chi tiết: Câu 2. (1.0 đ) Cách 1 + Đặt MH = x, NK = y, (x > 0, y > 0). (0,2) Tam giác MDN có AH ND, AK MD MH HD = MA AN = DK KN x 16 = 2 y y = 32 x . + Tính MD 2 = (x+16) 2 = x 2 + 32x + 256. (0,2) ND 2 = (2 + 32 x ) 2 = 4 + 128 x + 1024 x 2 . (0,2) MN 2 = DM 2 + DN 2 = x 2 + 1024 x 2 + 32x + 128 x + 260. + Xét hàm số f(x) = x 2 + 1024 x 2 + 32x + 128 x + 260 trên khoảng (0; + ). Ta có f'(x) = 2x - 2048 x 3 + 32 - 128 x 2 = 1 x 3 (2x 4 + 32x 3 - 128x - 2048 ) f'(x) = 0 2x 4 + 32x 3 - 128x - 2048 = 0 x = 4 (0,2) BBT x 0 4 + f'(x) − 0 + f(x) ↘ 500 ↗ MN = 500 khi x = 4 y = 8. Vậy MD = 4 + 16 = 20km, ND = 2 + 8 = 10km. (0,2) Cách 2 + Chọn hệ trục tọa độ như hình vẽ A(2; 16). (0,2) + Gọi N(n; 0), M(0; m), (m > 16, n > 2) d: x n + y m = 1. (0,2) + Vì A d 2 n + 16 m = 1 n = 2m m-16 . + Ta có MN 2 = m 2 + n 2 = m 2 + 4m 2 (m-16) 2 . (0,2) + Hàm số f(m) = m 2 + 4m 2 (m-16) 2 trên khoảng (16; + ). Ta có f'(m) = 2m [1 - 64 (m-16) 3 ] = 0 m = 20. (0,2) BBT m 16 20 + f'(m) − 0 + f(m) ↘ 500 ↗ MN = 500 khi m = 20 n = 10. Vậy DM = 20km, DN = 10km. (0,2)

Đề Kiểm Tra Cuối Học Kỳ I Toán 12 THPT Bảo Lộc Sở GD&ĐT Lâm Đồng 2025-2026 - Đề Số 2

Các câu hỏi khác trong đề (21 câu)

$x$	0		4		$+ \infty$
$f^{'} (x)$		−	0	+
$f (x)$		↘	500	↗

$m$	16		20		$+ \infty$
$f^{'} (m)$		−	0	+
$f (m)$		↘	500	↗