Số giá trị nguyên của $m$ để phương trình $9\cdot 9^{2x}+3^{2x+1}=x^2+(2m+1)x+m^2+m$ có nghiệm thuộc đoạn $[0;2]$ là

Chọn B.
Phương trình tương đương với:
$9^{2x+1}+3^{2x+1}=x^2+2mx+m^2+x+m\iff (3^{2x+1}{)}^2+3^{2x+1}=(x+m{)}^2+(x+m)$.
Xét hàm số $f(t)=t^2+t$ với $t>0$, hàm số có $f^{\prime }(t)=2t+1>0$ nên đồng biến trên $(0;+\infty )$.
Khi đó ta xét phương trình bậc hai theo $u=3^{2x+1}>0$ và $v=x+m$:
$u^2+u=v^2+v\iff (u-v)(u+v+1)=0$.
- Trường hợp 1: $u=v\iff 3^{2x+1}=x+m\iff m=3^{2x+1}-x$.
Xét $g_1(x)=3^{2x+1}-x$ trên đoạn $[0;2]$, hàm số đồng biến nên $m\in [g_1(0);g_1(2)]=[3;241]$, có $241-3+1=239$ giá trị nguyên.
- Trường hợp 2: $u+v+1=0\iff 3^{2x+1}+x+m+1=0\iff m=-3^{2x+1}-x-1$.
Xét $g_2(x)=-3^{2x+1}-x-1$ trên đoạn $[0;2]$, hàm số nghịch biến nên $m\in [g_2(2);g_2(0)]=[-246;-4]$, có $-4-(-246)+1=243$ giá trị nguyên.
Hai tập giá trị này rời nhau hoàn toàn, do đó tổng số giá trị nguyên của $m$ là $239+243=482$.